Охота к перемене мест
Переместительный закон сложения как симптом «процедурного» мышления
Нас учат грамматике, наполняют головы наши словами и правилами, коих мы не понимаем. Нас мучат начальными правилами языков, а часто и наук, кои нам никогда полезны не будут.
Александр Радищев. О предметах закона
«От перемены мест слагаемых сумма не меняется». Это правило школьники проходят в первом классе, когда большинству ещё не приходит в голову задуматься над его содержанием. Между тем, оно попросту бессмысленно — то есть не отражает никакого математического факта.
В самом деле, что такое «перемена мест»? Что такое эти «места» с математической точки зрения и в чём заключается «перемена»? Мы меняем местами символы на бумаге, с помощью которых обозначаем слагаемые. Но с таким же успехом мы можем не менять их местами, а, например, покрасить в другой цвет. И вывести новое математическое правило: «От цвета слагаемых сумма не меняется». А можно записать цифры другим почерком или другим пишущим инструментом. Каждая такая модификация даст новое правило о том, от чего не меняется сумма. Почему из бесчисленного множества таких правил упоминание в учебниках заслужил именно «переместительный закон»?
Когда я учился в первом классе, мы осваивали арифметику с помощью счётных палочек. Сложение чисел 5 и 7 я демонстрировал так: на дне коробки
После этого я спросил учительницу: где в таком сложении «места» слагаемых и как показать их «перемену»?
Учительница, подумав, ответила, что «перемена» будет, если положить каждую из кучек на место другой:
Это предложение не выдерживало критики, потому что нет никакого объективного критерия проверки, действительно ли одна кучка лежит на месте другой. На картинке я «переложил» их на глаз, чтобы показать, что имела в виду учительница. Однако не вводить же это в качестве математического определения: «кучки считаются поменявшими места, если на глаз кажется, что каждая из них лежит на месте другой».
Учительница не поняла моих объяснений, поэтому я предложил другой вариант: допустим, мы
И как интерпретировать эту конфигурацию? Перемена мест одного из двух слагаемых? Частичная перемена мест? Чем с математической точки зрения такое расположение отличается от двух предыдущих, а также от остальных бесчисленных способов разместить две кучки счётных палочек на дне коробки?
Учительница выпала в прострацию, одноклассники благодарили меня за срыв урока.
Похожая ситуация — с «сочетательным законом»:
Такие демонстрации показывали, что можно одним махом выполнить сложение любого количества чисел, не устанавливая между ними никакого порядка или группировки. Это и значит, что этот самый порядок не относится к математическому смыслу сложения — так же, как не относится цвет или почерк, которым записаны слагаемые.
Получается, что школьная математика путает математические сущности с формой их описания. Когда мы описываем сложение русским языком или посредством арифметических выражений, то приходится указывать слагаемые
У людей каша в голове оттого, что в начальной школе эту кашу прививают на уроках математики, хотя этот предмет, казалось бы, призван учить правильному мышлению.
Почему первоклассникам скармливают именно такую кашу про «перемену мест»? Чтобы разобраться, придётся сунуться в «большую» математику.
Теперь заглянем в высшую алгебру, где появляется понятие бинарной операции. Это «машинка», которая принимает на вход упорядоченную пару и даёт на выходе одно значение. Например, бинарная операция может взять два числа и выдать их среднее арифметическое. А другая операция может взять две геометрические фигуры и выдать разность их площадей.
Некоторые бинарные операции обладают тем свойством, что для всякой пары
Если рассматривать пары обычных чисел, а в качестве операции взять арифметическое сложение, то правило про «перемену мест» имеет в высшей алгебре точный смысл: оно утверждает, что бинарная операция сложения является коммутативной. Однако за этот смысл приходится расплачиваться тем, что изначально понимать 2 + 3 и 3 + 2 как два разных сложения, поскольку
С «сочетательным законом» похожая ситуация: он тоже имеет точный смысл в понятиях высшей алгебры, но ради этого смысла приходится договариваться, что
Из бинарных операций вырастает теория групп — важный раздел науки, славящийся многовековой историей и мириадами приложений от кристаллографии до алгоритмов «Фотошопа». Почти все области современной математики пересекаются с теорией групп. Поэтому она глубоко проникла в подкорку авторов школьных учебников. Авторы неосознанно переносят в учебники элементы высшей алгебры, при этом упрощая их до такой степени, что теряется всякий смысл. Порядок и группировка слагаемых вводятся только затем, чтобы немедленно объявить «правила» о том, что они не имеют значения.
Как же тогда увязать школьное сложение со «взрослой» математикой? Научное мировоззрение, формально господствующее в системе образования, не допустит, чтобы элементарная арифметика вообще не опиралась на серьёзную науку.
В поисках опоры временно переместимся от операции сложения к понятию суммы. Большинство людей, включая профессоров математики, чаще встречают сумму не в учёных трудах, а в документах вроде такого:
Биг Мак | 130 |
---|---|
Картофель фри | 58 |
Кетчуп | 19 |
Сырный соус | 19 |
Мороженое | 69 |
Кока-Кола | 70 |
Итого | 365 |
Какие качества суммы можно увидеть в этом примере?
На этом месте профессиональные педанты заподозрят, что я подменяю понятия. Они скажут, что слово «сумма» обозначает именно результат операции сложения, а если нет этой операции (например, когда в чеке один товар), то ни о какой сумме нельзя говорить.
Хорошо, давайте вернёмся к демонстрации со счётными палочками и будем рассматривать величину «общее количество палочек в коробке». Эта величина всегда существует независимо от того, на сколько кучек разложены палочки, сколько палочек в каждой кучке и даже есть ли палочки в коробке. Числовое значение этой величины не зависит от того, выполняем ли мы вообще сложение или
На мой взгляд, это повод называть «общее количество» попросту суммой. Однако если вам это
Теперь я собираюсь определить понятие суммы натуральных чисел так, чтобы оно:
- было математически строгим,
- не использовало порядка или группировки слагаемых,
- было универсальным для любого конечного количества слагаемых, начиная с 0,
- описывало саму сумму как математический объект, а не процедуру для её вычисления.
Сначала разберёмся, что такое натуральные числа. Будем понимать их как конечные ординалы:
- 0 = ∅,
- 1 = {0} = {∅},
- 2 = {0, 1} = {∅, {∅}},
- 3 = {0, 1, 2} = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}
и так далее. То есть каждое натуральное число есть множество, причём его мощность (количество элементов) равна этому самому числу.
Набор слагаемых тоже хотелось бы представить как множество, однако возникает загвоздка: все элементы множества должны быть различными, в то время как в сумму могут входить несколько одинаковых слагаемых (как, например, цены соусов в чеке).
Однако в нашем распоряжении есть упорядоченные пары, о которых я уже упоминал. Представим каждое слагаемое как пару натуральных чисел: первый элемент пары равен самому
Теперь скажем, что набор слагаемых — это множество, составленное из всех таких пар. Например, набор
После того, как со слагаемыми всё понятно, попробуем перейти к их сумме. Вот общая идея: превратим слагаемые в попарно непересекающиеся множества так, чтобы мощность каждого множества была равна самому
Шаг 1
Каждое слагаемое представляется парой чисел. Однако сами числа являются множествами, а значит, над ними можно выполнять операции из теории множеств. Поставим в соответствие каждой паре декартово произведение её компонентов. Например, пара
Так мы добились того, что каждому слагаемому соответствует множество нужной мощности. Но эти множества пока могут попарно пересекаться, поэтому сделаем ещё один шаг.
Шаг 2
Рассмотрим любое множество X, полученное на предыдущем шаге. Возьмём любой его элемент x и поставим ему в соответствие пару
Шаг 3
Наконец, рассмотрим объединение всех множеств, полученных на предыдущем шаге, и возьмём мощность этого объединения. Арифметически она в точности равна сумме всех слагаемых. Собственно, вот вам и вуаля.
Для педантов могу предложить формальное определение суммы в соответствии с перечисленными шагами:
Пусть A — конечное множество пар натуральных чисел. Тогда сумма A есть |⋃S|, где
S = {s: s = {(x, X): x ∈ X, X = m × n, (m, n) ∈ A}}.
Это не единственно возможное определение суммы. На шаге 1 можно было не рассматривать декартовы произведения, а, наоборот, «рассы
Итак, у нас есть вполне научное определение суммы натуральных чисел в терминах чистой теории множеств, без использования операции сложения из высшей алгебры. Для первоклассников это определение благополучно упрощается до «общего количества счётных палочек в коробке».
В силу этого определения сумма однозначно определяется набором слагаемых. На языке, доступном младшим школьникам: если в коробке лежат счётные палочки, то их общее количество тоже есть уже сразу — независимо от того, каким способом мы будем его вычислять и будем ли вообще.
Этот факт избавляет нас от бестолковых правил вроде «от
Но если, наоборот, понимать сумму как «общее количество», а сложение — как один из методов его вычисления, то всё встаёт на свои места. Общее количество счётных палочек в коробке существует само по себе как математический факт, а не как результат наших действий. Поэтому утверждение о том, что это количество от
Теперь, когда мы знаем, что такое сумма, можно ставить вопрос о том, как её вычислить. Прежде всего, не сто
Несмотря на примитивность, этот способ востребован в реальной жизни. Например, когда мы с приятелями скидываемся деньгами на вечеринку, то сдаём в общий фонд «от каждого по возможностям». Потом
Ну, и если, наконец, говорить о вычислении суммы с помощью арифметических действий, то я бы начал с того, что сумма из одного слагаемого равна самому этому слагаемому. (Докажите это сами через определение.) Любой первоклассник согласится, что даже если в коробке всего одна кучка счётных палочек, то общее количество палочек в коробке всё равно существует, и его можно посчитать.
А когда слагаемых больше одного, то возникает много разных технических приёмов вычисления суммы в зависимости от количества слагаемых и их характера. (Сумму 1 + 1 мы будем считать не так, как
100 |
Σ |
n = 1 |
«Переместительный закон» в этом случае перестаёт быть фундаментальной аксиомой. Он тоже становится свойством некоторых процедур сложения и доказывается через то же определение. Арифметические выражения
Из всего этого получается телеологический вывод. Если преподносить ученикам сначала операцию сложения, а потом сумму как результат этой операции, то создаётся представление, будто процедура первична, а её результат — вторичен. «Давайте выполним
Я убеждён, что второй подход конструктивнее в большинстве жизненных ситуаций — от научных исследований до мытья посуды. Для тех, кто нацелен на процедуру, эта хозяйственная задача заключается в том, чтобы привычными движениями повозить мочалкой по тарелке. Задача считается выполненной, когда завершён стандартный цикл манипуляций и тарелка поставлена в сушилку. Но те, кто нацелен на результат, видят задачу в том, чтобы тарелка стала чистой.
«Процедурное» мышление проявляется и в образовании, когда работники этой сферы считают, будто их миссия — отбарабанить плановые учебные часы и провести положенные экзамены. Однако настоящие учителя ставят своей целью добиться, чтобы ученики овладели ценными знаниями и умениями.